Questione di Matematica

In prima superiore, facevo parte di uno spettacolo teatrale. Era la settimana della messa in scena, e ogni sera rimanevo fino a tardi perché stavamo facendo le prove complete. Lo spettacolo era una dramma giudiziario. Io facevo il medico legale. Ero il primissimo testimone, ma visto che lo spettacolo era tutto un'unica lunga scena, una volta tornato al mio posto nella sala di tribunale, rimanevo sul palco per tutto lo spettacolo. Per quasi tutte le prove, non c'era bisogno che io rimanessi sul palco, perché dopo aver fatto la mia parte io non avrei fatto più nulla. Ma queste erano le prove complete, quindi dovevamo farle come avremmo poi fatto lo spettacolo vero e proprio, e questo voleva dire che io dovevo rimanere sul palco per tutto il tempo. Quella settimana, avremmo eseguito lo spettacolo una volta, cenato, e poi eseguito lo spettacolo una seconda volta. Le prove finivano in tarda serata.

Ricordo tutto questo perché quella settimana non avevo fatto tutti i compiti. Nelle altre settimane potevo farli dietro le quinte mentre ripetevamo le molte scene in cui io non comparivo, ma in quella settimana non ero mai dietro le quinte perché stavamo facendo le prove complete. Normalmente, ero uno studente piuttosto bravo, quindi non fare i compiti per me era una cosa atipica, e ci tenevo. Quando la mia professoressa di matematica affrontò con me la questione in classe, invece di spiegarle semplicemente perché non ero riuscito a fare i compiti, feci un commento sarcastico (altra cosa atipica per me). Dissi: "Tanto non mi servirà la matematica".

La mia professoressa di matematica si limitò a sorridere. Disse: "Nessuno pensa che gli servirà la matematica, ma ti confido un segreto. A tutti serve la matematica."

Io non dissi questa prossima parte ad alta voce, ma nella mia testa le risposi: "No, non è vero. Io diventerò uno scrittore. Se riesco a contare il mio stipendio e i numeri delle pagine, sarò a posto."

Se questo fosse un film, quella scena sarebbe iniziata con "43 anni prima". Poi ci sarebbe stato un taglio su di me al mio lavoro attuale come head designer di Magic: The Gathering con "oggi" scritto nella parte bassa dello schermo. Mi starei tenendo la testa con una mano mentre fisso lo schermo del mio computer. Lascerei fuggire un sospiro, chiedendomi "Perché c'è così tanta matematica?"

Si dà il caso che la mia professoressa di matematica avesse ragione. Non solo la matematica mi sarebbe servita, ma me ne sarebbe servita tanta. Anzi, molto di più di quanto mi sarei aspettato. Ecco di cosa parla l'articolo di oggi: tutti i vari modi in cui un designer di Magic usa la matematica. È una storia d'avvertimento per tutti i miei giovani lettori. Probabilmente la matematica avrà molta più importanza di quanto vi aspettate, quindi fate i vostri compiti di matematica.

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IL VENTAGLIO

Magic è un gioco di carte collezionabili. Quando qualcuno compra il nostro gioco, probabilmente comprerà una busta. Quella busta conterrà un certo numero di carte. Quelle carte saranno di diverse rarità. Noi non abbiamo il controllo di quali specifiche carte ottengono i giocatori, ma possiamo controllare l'ambiente di gioco. Questo può diventare complesso perché un modo popolare di giocare il gioco è Limited, dove i giocatori giocano soltanto con le carte che trovano nelle buste sigillate.

Ogni persona che compra un gioco da tavolo come Monopoly ottiene gli stessi componenti. Hanno la stessa plancia, proprietà immobiliari, carte Imprevisti e Probabilità, case e hotel di plastica e pedine dei giocatori. Il game designer di Monopoly sa cosa aspettarsi dal gioco perché tutti i giocatori hanno sempre accesso alle stesse componenti del gioco. In Magic, noi non sappiamo con esattezza quali carte troveranno i giocatori.

Ciò non significa che non abbiamo controllo su ciò che trovano i giocatori. Noi controlliamo la probabilità di incontrare determinati elementi di gioco. Per esempio, facciamo finta che esista una nuova meccanica sulle creature che si chiama grandiosità. Io non so se troverai una creatura con grandiosità, ma so in media quante creature con grandiosità troverai in una Busta di Gioco. Maggiore è il numero di quelle creature che mettiamo nelle Buste di Gioco, più alta è la percentuale di probabilità di trovarne una. Anche la rarità controlla quanto spesso si presentano certe carte. Una creatura comune con grandiosità, per esempio, si vedrà in più Buste di Gioco rispetto ad una non comune.

Quindi, come facciamo a definirlo? Come sappiamo in quale percentuale un certo aspetto del gioco comparirà all'interno delle buste? È matematica. È qualcosa che l'R&D (Ricerca e Sviluppo) chiama "as-fan", diminutivo di "as-fanned" (che indica quando delle carte in mano vengono disposte "a ventaglio" n.d.t.). L'"as-fan" rappresenta il numero di volte in cui un effetto che stiamo analizzando appare in un prodotto. In pratica, utilizziamo una formula dove inseriamo il numero di carte presenti in un set con una particolare caratteristica e le loro rarità, poi teniamo conto del numero di carte presenti in ogni rarità. Questa formula ci restituisce un numero.

Se grandiosità ha un "as-fan" di 1,5 nelle Buste di Gioco, ciò significa che la Busta di Gioco media avrà al suo interno 1,5 carte che sono una creatura con grandiosità. Come facciamo ad avere mezza carta? Le percentuali non ci dicono esattamente quante carte ci saranno in ogni particolare Busta di Gioco, ma qual è la media su un numero alto di Buste di Gioco. Per esempio, se io avessi due Buste di Gioco, una con una carta con grandiosità e l'altra con due carte con grandiosità, avrei una media di 1,5.

Quel numero "as-fan" è importante perché ci permette di tracciare quanto spesso possiamo aspettarci che i giocatori interagiscano con una certa componente di gioco. Poiché abbiamo creato un sacco di carte di Magic e tracciamo l'"as-fan" in ogni set, possiamo mettere a confronto il set attuale con altri set per cercare di capire se siamo al livello giusto. Per chi è interessato al calcolo dell'"as-fan", ho approfondito come calcolarlo nella parte due dell'articolo "Nuts & Bolts" di quest'anno. Dovremo comunque fare dei test di gioco per essere veramente sicuri, ma ci aiuta ad arrivare più velocemente al numero corretto.

Oltre all'"as-fan", abbiamo un'altra statistica che controlliamo chiamata "as-played". È come l'"as-fan", ma il peso delle carte è definito in base a quanto ci aspettiamo che vengano effettivamente giocate. Per esempio, una carta debole con grandiosità potrà aumentare l'"as-fan" della meccanica in una Busta di Gioco, ma non aumenterà necessariamente l'"as-play" per la meccanica.

Per arrivare all'"as-fan" (e all'"as-play") ci sono altri due aspetti che dobbiamo capire. Sì, entrambi c'entrano con la matematica.

COMPOSIZIONE

Come produciamo esattamente le carte di Magic? Vengono stampate con delle stampanti in giro per il mondo. Ma come le stampiamo esattamente? Bè, una normale carta di Magic è decisamente troppo piccola per queste stampanti. Infatti stampiamo grandi fogli con molte carte di Magic su di essi. Dopo la stampa, li tagliamo alla dimensione di una carta. Le due dimensioni di stampa più comuni sono quelle che chiamiamo 110 e 121. La prima è 10 x 11, mentre la seconda è 11 x 11. Il primo numero rappresenta il numero di carte presenti sul foglio verticalmente, mentre il secondo numero è il numero di carte presenti sul foglio orizzontalmente.

Foglio di Innistrad: Caccia di Mezzanotte

Di solito le terre base, le comuni e le non comuni hanno il proprio foglio (e spesso più di uno), mentre le carte rare e rare mitiche condividono un foglio, nel quale le rare sono presenti il doppio rispetto ad ogni rara mitica. Il numero di carte che inseriamo in un set è basato su questa matematica dei fogli. Per esempio, ultimamente tendiamo ad utilizzare i fogli 121. La maggior parte dei set hanno 80 carte comuni perché possiamo distribuire tre gruppi di comuni (80 x 3) tra due fogli (120 x 2).

Alcuni set hanno bisogno di componenti che necessitano di fogli aggiuntivi. Le carte bifronte sono un classico esempio di ciò. Queste carte non possono essere stampate sullo stesso foglio delle carte monofronte (il modo in cui stampiamo il retro è diverso rispetto a come stampiamo il lato frontale), quindi aggiungiamo un foglio extra al set. Perciò, queste carte non sostituiscono degli slot di carte esistenti, ma aggiungono altre carte al set. Ecco perché i set con le carte bifronte tendono ad avere un numero maggiore di carte.

E non ho nemmeno tenuto conto delle carte foil o delle carte Booster Fun, che hanno bisogno di altri fogli aggiuntivi. Inutile dire che c'è bisogno di un sacco di matematica per capire cosa può e non può avere spazio sui nostri fogli per riuscire a stamparli in modo ottimale. Chi guida il design di un set deve assolutamente comprendere i limiti, così da sapere cos'è possibile fare e cosa no. Per fare un esempio, io ho un set in arrivo nel quale ho dovuto cambiare completamente il modo in cui stavamo gestendo la composizione per riuscire ad inserire nel set un particolare elemento molto interessante.

Ma aspettate, c'è altra matematica.

MATEMATICA DELLA BUSTA

Una volta che abbiamo i fogli di carte stampate, non abbiamo ancora finito. Dobbiamo capire come inserire le carte nel set nelle giuste proporzioni. Il modo in cui viene fatto si basa su come si crea una busta nell'impianto di stampa. Le carte vengono messe in vari distributori di carte, poi vengono messe nella busta un certo numero di carte da ogni distributore. Per esempio, gli slot dall'1 al 6 potrebbero essere delle carte comuni. Ciò significa che il distributore viene riempito con le carte tagliate da un foglio di comuni. Poi può succedere che un unico distributore di comuni faccia uscire sei carte, oppure diversi distributori di carte comuni facciano uscire un certo numero che, sommato, arriva a sei. Usare diversi distributori aiuta la casualità. Ogni slot all'interno di una busta viene allocato per un certo tipo di carta che compare in un determinato foglio.

Questo diventa un po' più complesso quando alcuni slot non sono dedicati ad un foglio specifico. Per esempio, le Buste di Gioco hanno uno slot "jolly" che può attingere da diverse rarità. Le percentuali vengono inserite in un computer che gestisce i distributori, che si assicura che il foglio corretto venga aggiunto a quello slot nella percentuale corretta delle volte. Questo è importante per dedurre l'"as-fan", perché c'è bisogno di sapere quanti slot saranno dedicati ad una particolare rarità. Questo è il motivo per cui si finisce con delle rarità che hanno numeri non interi. Per esempio, questi sei slot hanno sempre una comune, ma altri slot possono avere una comune occasionalmente.

Il design può impattare la matematica della busta anche creando uno slot dedicato ad una tematica particolare. Innistrad aveva uno slot per una carta bifronte (DFC). Dominaria aveva uno slot per una creatura leggendaria. L'Avanzata delle Macchine aveva un slot per una battaglia. Gli slot dedicati di solito vengono aggiunti per aiutare a mostrare meglio una tematica del set. Garantire uno slot aiuta ad aumentare il suo "as-fan" e può garantire il suo "as-fan" se il sottoinsieme in questione può presentarsi soltanto in quel foglio. Le DFC in Innistrad avevano un "as-fan" uguale a 1, ma anche una garanzia di 1, perché l'unico modo di trovare una DFC era tramite il loro slot dedicato.

Quando si progettano set di Magic, bisogna essere consci degli "as-fan", della distribuzione e della matematica della busta. Tutto è interconnesso, risultando in un sacco di matematica.

EFFETTI

Abbiamo parlato di come usare la matematica per dedurre grandi decisioni strutturali, ma la matematica salta fuori anche nel design delle carte individuali. Per esempio, facciamo finta di voler creare una carta che guarda le prime N ("N" è il gergo dell'R&D per un numero da decidere in un secondo momento) carte del tuo grimorio per un certo tipo di carta e lo aggiunge alla tua mano. Come decidiamo il valore di N? Usiamo la matematica. Facciamo finta che stiamo cercando delle terre. Okay, quante terre ci aspettiamo che vengano giocate dalle persone? Normalmente, le terre formano circa il 40% del mazzo. Possiamo fare i conti per capire la probabilità di trovare una terra in base a diversi valori di N.

• Se N=1, hai una probabilità del 40%.

• Se N=2, hai una probabilità del 64%.

• Se N=3, hai una probabilità del 78,4%.

• Se N=4, hai una probabilità del 87,04%.

• Se N=5, hai una probabilità del 92,22%.

Questo ci permette di selezionare N in base al grado (termine dell'R&D per indicare quanto è potente l'effetto di una carta in funzione del suo costo; "rate" in inglese n.d.t.) di cui vogliamo la carta. Faccio notare che questo può diventare più complicato se iniziamo a parlare di altri tipi di carta. Le percentuali di terre sono piuttosto consistenti tra i vari mazzi, ma altri tipi di carta non lo sono. Quindi, non si tratta solo di capire l'utilizzo medio, ma anche quale sarà il livello di potenza se un mazzo viene dedicato a soddisfare l'obiettivo della carta.

Ci sono un sacco di carte che hanno variabili che bisogna considerare. A volte si hanno intere meccaniche. Per capire come valorizzarle correttamente serve della matematica.

Un altro problema per il design delle carte è che il modo stesso di giocare a Magic presenta un sacco di matematica. Spesso, capire quando si può eseguire un buon attacco si basa su un'analisi matematica del danno che riuscirai a infliggere contro il danno che riceverai. Poiché esistono dei fattori di modifica (come quant'è preziosa una creatura che attacca invece di tenerla indietro per bloccare), questi conti possono diventare piuttosto complessi. Gran parte dei test con le nuove carte prevedono di giocare con esse, quindi i test di gioco stessi prevedono un sacco di matematica nella sola parte di gioco. Capire se una nuova carta o una nuova meccanica sta funzionando ha molto a che fare con la comprensione della matematica durante la fase di gioco.

CURVE DI MANA E COSTI

Un'altra importante parte strutturale del design è assicurarsi che le tematiche e gli archetipi siano giocabili, sia nei formati Limited che nei formati Constructed. Bisogna far sì che ci siano cose da fare in ogni fase della partita. Questo è ciò che chiamiamo una curva di mana. Vogliamo che ogni mazzo abbia delle cose da fare in ogni turno. I mazzi tendono a favorire le carte a basso costo perché se ne possono lanciare più di una a partita avanzata, mentre le carte più costose possono rimanere bloccate in mano a inizio partita.

Tutto questo deve essere bilanciato quando decidiamo i costi delle carte, perché dobbiamo assicurarci che il costo di mana sia appropriato rispetto all'effetto della carta. Se lo scegliamo troppo basso, la carta può risultare rotta, con un impatto negativo sui formati. Se lo scegliamo troppo alto, la carta diventa inutile e poche persone la giocheranno. Cercare di trovare l'equilibrio per ogni singola carta insieme alla curva di mana (che è il risultato di una selezione di carte nello stesso colore) può essere complicato. Le carte possono avere altri numeri, come la forza e la costituzione delle creature. Ognuno di questi numeri deve essere sistemato per trovare il costo di mana corretto. L'intero sistema si basa sulla matematica.

La creazione di carte di Magic implica la determinazione di un sacco di numeri e lo svolgimento di una quantità significativa di calcoli.

DATI INTERNI

Una volta che le carte sono state create, bisogna testarle. Ogni test di gioco fornisce dei dati, ma i campioni sono piccoli, quindi noi raccogliamo i dati sapendo che non sono statisticamente rilevanti come invece lo saranno i dati esterni (ci arriviamo tra un attimo). I dati che otteniamo durante i test di gioco vengono usati di più in quello che chiamiamo input direzionale. Ci possono aiutare a tenere traccia di cose di più ampia portata, come la frequenza con cui vengono giocati certi colori, così da poter capire se i colori non sono bilanciati tra loro. Ogni set viene sottoposto ad uno o più giorni di gioco, durante i quali l'intero dipartimento blocca il suo normale lavoro per giocare con un set per aiutarci a fare uno stress-test. I giorni di gioco ci forniscono la quantità maggiore di dati interni.

Inviamo anche una serie di questionari dove chiediamo alle persone cosa pensano riguardo a specifiche carte (di solito le rare e rare mitiche) o meccaniche. I giorni di gioco ci permettono anche di raccogliere informazioni sulle impressioni delle persone riguardo tutte le componenti di gioco. Tutti questi dati vengono raccolti all'interno di fogli di calcolo dove possiamo confrontarli con dati storici che abbiamo raccolto dai set più vecchi. Tutto questo ci dà un'idea delle prime impressioni e spesso può evidenziare degli aspetti che hanno bisogno di particolare attenzione.

DATI ESTERNI

Una volta che il set viene rilasciato, otteniamo un flusso costante di dati. In parte perché più persone giocano il set (milioni di giocatori contro le decine di persone nell'R&D) e in parte perché un sacco di persone giocano formati digitali, che sono ottimi per raccogliere un sacco di dati di gioco grezzi. Una parte tipica del nostro processo è un postmortem dove guardiamo come i nostri set hanno performato in vari formati, soprattutto in Limited. Questo ci permette di fare un ulteriore controllo sui nostri dati interni per vedere quanto le nostre stime fossero vicine agli ambienti effettivamente giocati.

Inoltre, proprio come facciamo i nostri questionari internamente, facciamo anche una ricerca di mercato esterna. Parliamo con i giocatori riguardo tutti gli aspetti del set e chiediamo loro di darci la loro opinione. Poi noi possiamo prendere tutti questi dati e confrontarli con i nostri dati storici. Se avete mai letto uno dei miei articoli "Storm Scale" dove spiego quanto siano andate bene le meccaniche, proviene tutto da questi dati.

Ma aspettate, ci sono ancora ulteriori dati. Possiamo quantificare le vendite. Possiamo quantificare i numeri di gioco. Possiamo quantificare i trend sui social. Ci sono quantità significative di dati che vengono prodotti ogni volta che facciamo uscire un nuovo set. Tutti questi dati ci aiutano a comprendere meglio come è andato il set, che a sua volta può insegnarci ciò che possiamo ripetere, ciò che possiamo aggiustare e ciò che dobbiamo evitare. Faccio notare che questi dati vanno in contrasto con molti feedback aneddotici che ricevo sui social e sul mio blog. Non per dire che i singoli feedback individuali non siano importanti o preziosi, ma oggi sto parlando di matematica, e questi feedback non sono statisticamente rilevanti da un punto di vista matematico.

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TUTTO IL RESTO

Oggi mi sono concentrato sulla matematica usata dai designer, ma serve molta più matematica per creare i set di Magic. Le persone negli altri dipartimenti devono fare cose come capire le tirature di stampa (o quanto prodotto stampiamo per un set), determinare quante stampanti dobbiamo usare, creare sistemi logistici che spediscano tutte le carte in giro per il mondo per un giorno di rilascio globale, calcolare le percentuali delle carte premium e Booster Fun, e la lista continua. Anzi, c'è così tanta matematica, che Magic può contare sui propri economi e su un intero team che elabora tutti i dati che raccogliamo per aiutarci a comprenderli. Inutile dire che, quando si crea Magic, a tutti serve la matematica.

Con questo, è giunto per me il momento di salutarvi anche oggi. Spero che questo sguardo in questo aspetto del design di Magic sia stato divertente e informativo. Se avete qualche pensiero sull'articolo di oggi o su uno qualsiasi degli aspetti che ho condiviso, sentitevi liberi di scrivermi un'e-mail o contattarmi tramite gli account sui social (Twitter, Tumblr, Instagram, Bluesky e TikTok).

Vi aspetto la prossima settimana, quando inizieranno le anteprime di Ai Confini dell'Eternità.

Fino ad allora, fate i vostri compiti di matematica, figlioli.